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2.3 Other Measures of Location

其他位置度量总结 - 四分位数、百分位数与插值法

四分位数（Quartiles）

基本概念

四分位数将数据分为四等份的三个分位点：

  • 下四分位数（\(Q_1\)）：第25百分位数，约25%的数据小于它
  • 中位数（\(Q_2\)）：第50百分位数，约50%的数据小于它
  • 上四分位数（\(Q_3\)）：第75百分位数，约75%的数据小于它

关键关系：四分位数反映数据的分布特征，\(Q_1\)、\(Q_2\)、\(Q_3\)将数据分为四个相等的部分。

离散数据计算规则

位置公式

  • \(Q_1\) 位置：\(\frac{n}{4}\)
  • \(Q_2\) 位置：\(\frac{n}{2}\)
  • \(Q_3\) 位置：\(\frac{3n}{4}\)

若结果为整数，取该位置与下一个位置数据的平均值；若为非整数，向上取整取对应位置数据。

示例

20个数据：\(Q_1\)位置\(\frac{20}{4}=5\)，取第5、6个数据的平均值

\(Q_3\)位置\(\frac{3×20}{4}=15\)，取第15、16个数据的平均值

百分位数（Percentiles）

基本概念

百分位数将数据分为100等份的99个分位点，第\(p\)百分位数（\(P_p\)）表示约\(p\%\)的数据小于它，\((100-p)\%\)的数据大于它。

位置公式

  • 第\(p\)百分位数位置：\(\frac{p×n}{100}\)
  • 特殊百分位数：\(P_{25}=Q_1\), \(P_{50}=Q_2\), \(P_{75}=Q_3\)

插值法（Interpolation）

适用场景

当数据以分组频率表呈现时，通过假设组内数据均匀分布，估计中位数、四分位数、百分位数。

插值公式

\[ \text{估计值} = \text{组下限} + \frac{\text{目标位置}-\text{前一组累计频率}}{\text{本组频率}} × \text{组宽} \]

计算步骤

  • 步骤1：计算累计频率
  • 步骤2：确定目标分位数所在的组
  • 步骤3：利用插值公式计算估计值
示例

上网时间分组：30-31(2), 32-33(25), 34-36(30), 37-39(13)

累计频率：2, 27, 57, 70

\(Q_3\)位置\(\frac{3×70}{4}=52.5\)，落在"34-36"组

插值计算：\(Q_3 = 33.5 + \frac{52.5-27}{30}×3 = 36.05\)

学习要点速记

核心要点总结

  • 四分位数：\(Q_1\), \(Q_2\), \(Q_3\)将数据分为四等份
  • 百分位数：\(P_p\)表示\(p\%\)的数据小于它
  • 位置公式：\(\frac{n}{4}\), \(\frac{n}{2}\), \(\frac{3n}{4}\)
  • 插值法：假设组内均匀分布
  • 累计频率：确定分位数所在组
  • 组边界：插值计算的关键
学习价值

掌握其他位置度量是描述性统计的重要工具，它为后续的箱线图、异常值检测和统计推断提供了基础。

常见错误提醒

易错点分析

  • 位置计算错误：忘记排序或位置公式使用错误
  • 插值法应用错误：组边界确定错误或公式使用错误
  • 累计频率计算错误：累计频率计算不准确
  • 组宽计算错误：组边界和组宽计算错误
典型错误

很多学生在使用插值法时会忘记计算累计频率，或者组边界确定错误，导致最终结果不准确。

学习建议

练习建议

  • 多练习计算：熟练掌握四分位数和百分位数的计算方法
  • 重视插值法：理解插值法的假设和计算步骤
  • 理解应用：理解分位数在实际问题中的应用
  • 实际问题：通过实际问题理解分位数的意义

长远价值：掌握其他位置度量是统计学的重要基础，它为后续的箱线图、异常值检测、统计推断和假设检验提供了基本工具。通过练习可以培养数据分析和统计思维，为后续学习统计学做好准备。

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2.3 Other Measures of Location

其他位置度量总结 - 四分位数、百分位数与插值法

四分位数（Quartiles）

基本概念

四分位数将数据分为四等份的三个分位点：

  • 下四分位数（\(Q_1\)）：第25百分位数，约25%的数据小于它
  • 中位数（\(Q_2\)）：第50百分位数，约50%的数据小于它
  • 上四分位数（\(Q_3\)）：第75百分位数，约75%的数据小于它

关键关系：四分位数反映数据的分布特征，\(Q_1\)、\(Q_2\)、\(Q_3\)将数据分为四个相等的部分。

离散数据计算规则

位置公式

  • \(Q_1\) 位置：\(\frac{n}{4}\)
  • \(Q_2\) 位置：\(\frac{n}{2}\)
  • \(Q_3\) 位置：\(\frac{3n}{4}\)

若结果为整数，取该位置与下一个位置数据的平均值；若为非整数，向上取整取对应位置数据。

示例

20个数据：\(Q_1\)位置\(\frac{20}{4}=5\)，取第5、6个数据的平均值

\(Q_3\)位置\(\frac{3×20}{4}=15\)，取第15、16个数据的平均值

百分位数（Percentiles）

基本概念

百分位数将数据分为100等份的99个分位点，第\(p\)百分位数（\(P_p\)）表示约\(p\%\)的数据小于它，\((100-p)\%\)的数据大于它。

位置公式

  • 第\(p\)百分位数位置：\(\frac{p×n}{100}\)
  • 特殊百分位数：\(P_{25}=Q_1\), \(P_{50}=Q_2\), \(P_{75}=Q_3\)

插值法（Interpolation）

适用场景

当数据以分组频率表呈现时，通过假设组内数据均匀分布，估计中位数、四分位数、百分位数。

插值公式

\[ \text{估计值} = \text{组下限} + \frac{\text{目标位置}-\text{前一组累计频率}}{\text{本组频率}} × \text{组宽} \]

计算步骤

  • 步骤1：计算累计频率
  • 步骤2：确定目标分位数所在的组
  • 步骤3：利用插值公式计算估计值
示例

上网时间分组：30-31(2), 32-33(25), 34-36(30), 37-39(13)

累计频率：2, 27, 57, 70

\(Q_3\)位置\(\frac{3×70}{4}=52.5\)，落在"34-36"组

插值计算：\(Q_3 = 33.5 + \frac{52.5-27}{30}×3 = 36.05\)

学习要点速记

核心要点总结

  • 四分位数：\(Q_1\), \(Q_2\), \(Q_3\)将数据分为四等份
  • 百分位数：\(P_p\)表示\(p\%\)的数据小于它
  • 位置公式：\(\frac{n}{4}\), \(\frac{n}{2}\), \(\frac{3n}{4}\)
  • 插值法：假设组内均匀分布
  • 累计频率：确定分位数所在组
  • 组边界：插值计算的关键
学习价值

掌握其他位置度量是描述性统计的重要工具，它为后续的箱线图、异常值检测和统计推断提供了基础。

常见错误提醒

易错点分析

  • 位置计算错误：忘记排序或位置公式使用错误
  • 插值法应用错误：组边界确定错误或公式使用错误
  • 累计频率计算错误：累计频率计算不准确
  • 组宽计算错误：组边界和组宽计算错误
典型错误

很多学生在使用插值法时会忘记计算累计频率，或者组边界确定错误，导致最终结果不准确。

学习建议

练习建议

  • 多练习计算：熟练掌握四分位数和百分位数的计算方法
  • 重视插值法：理解插值法的假设和计算步骤
  • 理解应用：理解分位数在实际问题中的应用
  • 实际问题：通过实际问题理解分位数的意义

长远价值：掌握其他位置度量是统计学的重要基础，它为后续的箱线图、异常值检测、统计推断和假设检验提供了基本工具。通过练习可以培养数据分析和统计思维，为后续学习统计学做好准备。